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La mwcageometria (mwcqdal latino mwcggeometrĭa e questo mwcwdal greco antico γεωμετρίαmwda?, composto dal prefisso mwdqgeo- che rimanda alla parola greca γή = 'terra', 'terreno', e μετρία, mwdgmetria, 'misura', quindi 'misurazione della Terra') è quella parte della mwdwmatematica che si occupa delle forme nel mweapiano e nello mweqspazio, e delle loro mutue relazioni.

• Storia

• Geometria euclidea

• Geometria piana

• Geometria solida

• Figure curve

• Geometria cartesiana

• Spazi vettoriali

• Geometria affine

• Geometria algebrica

• Geometria proiettiva

• Varietà algebriche

• Geometria differenziale

• Geometrie non euclidee

• Topologia

• Geometria e geometrie

• Applicazioni

• Geometria descrittiva

• Bibliografia

• Voci correlate

• Altri progetti

• Collegamenti esterni

La nascita della geometria si fa risalire all'epoca degli mwhaantichi Egizi. mwhqErodoto racconta che, a causa dei fenomeni di erosione e di deposito dovuti alle piene del mwhgNilo, l'estensione delle proprietà terriere egiziane variavano ogni anno e dovevano quindi essere ricalcolate a fini fiscali. Nacque così il bisogno di inventare tecniche di mwhwmisura della terra (mwiageometria, nel significato originario del termine).

Lo sviluppo della geometria pratica è molto antico, per le numerose applicazioni che consente e per le quali è stata sviluppata, e in epoche remote fu a volte riservata a una categoria di sapienti con attribuzioni sacerdotali. Presso l'mwigAntica Grecia, soprattutto per via dell'influenza del filosofo ateniese Platone e, ancor prima di lui, di Anassimandro di Mileto, si diffuse massicciamente l'mwjquso della riga e del compasso (sebbene pare che questi strumenti fossero già stati inventati altrove) e, soprattutto, nacque l'idea nuova di usare tecniche dimostrative.

La mwjwgeometria greca servì da base per lo sviluppo della mwkageografia, dell'mwkqastronomia, dell'mwkgottica, della mwkwmeccanica e di altre scienze, nonché di varie tecniche, come quelle per la mwlanavigazione. Nella mwlqciviltà greca, oltre alla mwlggeometria euclidea che si studia ancora a scuola, e alla teoria delle coniche, nacquero anche la mwlwgeometria sferica e la mwmatrigonometria (mwmqpiana e mwmgsferica).

La geometria coincide fino all'inizio del mwpqXIX secolo con la geometria euclidea. Questa definisce come mwpgconcetti primitivi il mwpwpunto, la mwqaretta e il mwqqpiano, e assume la veridicità di alcuni mwqgassiomi, gli mwqwassiomi di Euclide. Da questi assiomi vengono quindi mwradedotti dei mwrqteoremi anche complessi, come il mwrgteorema di Pitagora ed i teoremi della mwrwgeometria proiettiva.

La scelta dei concetti primitivi e degli assiomi è motivata dal desiderio di rappresentare la realtà, e in particolare gli oggetti nello mwsqspazio tridimensionale in cui viviamo. Concetti primitivi come la retta ed il piano vengono descritti informalmente come "fili e fogli di carta senza spessore", e d'altro canto molti oggetti della vita reale vengono idealizzati tramite enti geometrici come il mwsgtriangolo o la mwswpiramide. In questo modo, i teoremi forniscono fin dall'antichità degli strumenti utili per le discipline che riguardano lo spazio in cui viviamo: mwtameccanica, mwtqarchitettura, mwtggeografia, mwtwnavigazione, mwuaastronomia.

La mwwwgeometria piana si occupa delle figure geometriche nel piano. A partire dal concetto primitivo di retta, vengono costruiti i mwxasegmenti, e quindi i mwxqpoligoni come il mwxgtriangolo, il mwxwquadrato, il mwyapentagono, l'mwyqesagono, ecc.

Le quantità numeriche importanti nella geometria piana sono la mwywlunghezza, l'mwzaangolo e l'mwzqarea. Ogni segmento ha una lunghezza, e due segmenti che si incontrano in un estremo formano un angolo. Ogni poligono ha un'area. Molti teoremi della geometria piana mettono in relazione le lunghezze, angoli e aree presenti in alcune figure geometriche. Ad esempio, la somma degli angoli interni di un triangolo risulta essere un mwzgangolo piatto, e l'area di un mwzwrettangolo si esprime come prodotto delle lunghezze dei segmenti di mwaabase e mwaqaltezza. La mwagtrigonometria studia le relazioni fra gli angoli e le lunghezze.

La mwdggeometria solida (o stereometria) studia le costruzioni geometriche nello spazio. Con segmenti e poligoni si costruiscono i mweapoliedri, come il mweqtetraedro, il mwegcubo e la mwewpiramide.

I poliedri hanno vertici, spigoli e facce. Ogni spigolo ha una lunghezza, ed ogni faccia ha un'area. In più, il poliedro ha un mwfqvolume. Si parla inoltre di mwfgangoli diedrali per esprimere l'angolo formato da due facce adiacenti in uno spigolo. Molti teoremi mettono in relazione queste quantità: ad esempio il volume della mwfwpiramide può essere espresso tramite l'area della figura di base e la lunghezza dell'altezza.

La geometria euclidea considera anche alcune figure curve. Le figure "base" sono la mwjwcirconferenza nel piano e la mwkasfera nello spazio, definite come luogo dei punti equidistanti da un punto fissato. Partendo da queste figure, ne vengono definite altre come il mwkqcono. A queste figure vengono associate grandezze analoghe ai poliedri: si parla quindi di lunghezza della circonferenza, di area del mwkgcerchio e di volume della sfera.

L'intersezione nello spazio di un cono con un piano forma una nuova figura curvilinea: a seconda dell'inclinazione del piano, questa è una mwlaellisse, una mwlqparabola, un'mwlgiperbole o una mwlwcirconferenza. Queste mwmasezioni coniche sono le curve più semplici realizzabili nel piano. Ruotando una figura intorno ad una retta, si ottengono altre figure curve. Ad esempio, ruotando un'ellisse o una parabola si ottengono l'mwmqellissoide ed il mwmgparaboloide. Anche in questo caso, il volume dell'oggetto può essere messo in relazione con altre quantità. La geometria euclidea non fornisce però sufficienti strumenti per dare una corretta definizione di lunghezza e area per molte figure curve.

La mwpggeometria cartesiana (o analitica) ingloba le figure ed i teoremi della geometria euclidea, introducendone di nuovi grazie a due altre importanti discipline della matematica: l'mwpwalgebra e l'mwqaanalisi. Lo spazio (ed il piano) sono rappresentati con delle mwqqcoordinate cartesiane. In questo modo ogni figura geometrica è descrivibile tramite una o più mwqgequazioni (o mwqwdisequazioni).

Rette e piani sono oggetti risultanti da mwrqequazioni di primo grado, mentre le coniche sono definite tramite mwrgequazioni di secondo grado. Equazioni mwrwpolinomiali di grado superiore definiscono nuovi oggetti curvi. Il mwsacalcolo infinitesimale permette di estendere con precisione i concetti di lunghezza e area a queste nuove figure. L'mwsqintegrale è un utile strumento analitico per determinare queste quantità. Si parla in generale quindi di mwsgcurve e mwswsuperfici nel piano e nello spazio.

Retta (passante per l'origine), piano (contenente l'origine) e spazio sono esempi di mwvaspazi vettoriali di dimensione rispettivamente 1, 2 e 3: infatti ogni punto è esprimile rispettivamente con 1, 2 o 3 coordinate. La geometria cartesiana è facilmente estendibile alle dimensioni superiori: in questo modo si definiscono spazi di dimensione 4 e oltre, come insiemi di punti aventi 4 o più coordinate.

Grazie all'mwvgalgebra lineare, lo studio delle rette e dei piani nello spazio può essere esteso allo studio dei mwvwsottospazi di uno spazio vettoriale, di dimensione arbitraria. Lo studio di questi oggetti è strettamente collegato a quello dei mwwasistemi lineari e delle loro soluzioni. In dimensione più alta, alcuni risultati possono contrastare con l'intuizione geometrica tridimensionale a cui siamo abituati. Ad esempio, in uno spazio di dimensione 4, due piani possono intersecarsi in un punto solo.

In uno spazio vettoriale l'origine (cioè il punto da cui partono gli assi, di coordinate tutte nulle) gioca un ruolo fondamentale: per poter usare in modo efficace l'mwyqalgebra lineare, si considerano infatti solo sottospazi passanti per l'origine. In questo modo si ottengono delle relazioni eleganti fra i sottospazi, come la mwygformula di Grassmann.

Nella mwzageometria affine il ruolo predominante dell'origine è abbandonato. I sottospazi non sono vincolati, e possono quindi essere paralleli: questo crea una quantità considerevole di casistiche in più. In particolare, la formula di Grassmann non è più valida. Lo spazio affine è considerato (fino alla scoperta della mwzqrelatività ristretta) come lo strumento migliore per creare modelli dell'universo, con 3 dimensioni spaziali ed eventualmente 1 dimensione temporale, senza "origini" o punti privilegiati.

Dal mw0gXIX secolo in poi l'algebra diventa uno strumento preponderante per lo studio della geometria. Nel tentativo di "abbellire" il quadro, e di ricondurre molte proprietà e teoremi ad un numero sempre minore di proprietà fondamentali, la geometria analitica viene progressivamente inglobata in un concetto più ampio di geometria: si aggiungono i "punti all'infinito" (creando così la mw0wgeometria proiettiva), e si fanno variare le coordinate di un punto non solo nei mw1anumeri reali, ma anche in quelli mw1qcomplessi.

La mw3ggeometria proiettiva nasce come strumento legato al disegno in mw3wprospettiva, e viene formalizzata nel mw4aXIX secolo come un arricchimento della geometria cartesiana. La geometria proiettiva include i "punti all'infinito" ed elimina quindi alcune casistiche considerate fastidiose, come la presenza di rette parallele.

In questa geometria molte situazioni si semplificano: due piani distinti si intersecano sempre in una retta, e oggetti differenti della geometria analitica (come le coniche ellisse, parabola e iperbole) risultano essere equivalenti in questo nuovo contesto. La geometria proiettiva è anche un esempio di mw4gcompattificazione: similmente a quanto accade con la mw4wproiezione stereografica, aggiungendo i punti all'infinito lo spazio diventa mw5acompatto, cioè "limitato", "finito".

La mw8qgeometria algebrica verte essenzialmente sullo studio dei mw8gpolinomi e delle loro mw8wradici: gli oggetti che tratta, chiamati mw9avarietà algebriche, sono gli insiemi dello mw9qspazio proiettivo, mw9gaffine o mw9weuclideo definiti come luoghi di zeri di polinomi.

Nel mw-qXX secolo il concetto di varietà algebrica assume un'importanza sempre maggiore. Rette, piani, coniche, ellissoidi, sono tutti esempi di varietà algebriche. Lo studio di questi oggetti raggiunge risultati impressionanti quando le coordinate dello spazio vengono fatte variare nel mw-gcampo dei mw-wnumeri complessi: in questo caso, grazie al mw-ateorema fondamentale dell'algebra, un polinomio ha sempre delle radici.

Questo fatto algebrico di grande importanza (esprimibile dicendo che i numeri complessi formano un mw-gcampo algebricamente chiuso) ha come conseguenza la validità di alcuni teoremi potenti di carattere molto generale. Ad esempio, il mw-wteorema di Bézout asserisce che due curve di grado mwaqa d {\displaystyle d} e mwaqe d ′ {\displaystyle d'} nel piano che non hanno componenti in comune si intersecano mwaqisempre in mwaqm d d ′ {\displaystyle dd'} punti, contanti con un'opportuna molteplicità. Questo risultato necessita che il "piano" sia proiettivo e complesso. In particolare, è certamente falso nell'ambito classico della geometria analitica: due circonferenze non devono intersecarsi necessariamente in 4 punti, possono anche essere disgiunte.

Lo studio della geometria nello spazio proiettivo complesso aiuta anche a capire la geometria analitica classica. Le curve nel piano cartesiano reale possono ad esempio essere viste come "sezioni" di oggetti più grandi, contenuti nel piano proiettivo complesso, ed i teoremi generali validi in questo "mondo più vasto e perfetto" si riflettono nel piano cartesiano, pur in modo meno elegante. Come lo studio della mwaqugeometria affine fa largo uso dell'mwaqyalgebra lineare, quello delle varietà algebriche attinge a piene mani dall'mwaqcalgebra commutativa.

La mwaregeometria differenziale è lo studio di oggetti geometrici tramite l'mwarianalisi. Gli oggetti geometrici non sono necessariamente definiti da polinomi (come nella geometria algebrica), ma sono ad esempio mwarmcurve e mwarqsuperfici, cioè oggetti che, visti localmente con una lente di ingrandimento, sembrano quasi rettilinei o piatti. Oggetti cioè "senza spessore", e magari un po' curvi. Come la superficie terrestre, che all'uomo sembra piatta, benché non lo sia.

Questo concetto di "spazio curvo" è espresso tramite la nozione di mwaryvarietà differenziabile. La sua definizione non necessita neppure di "vivere" in uno spazio ambiente, ed è quindi usata ad esempio nella mwarcrelatività generale per descrivere intrinsecamente la mwargforma dell'universo. Una varietà può essere dotata di una proprietà fondamentale, la mwarkcurvatura, che viene misurata tramite oggetti matematici molto complessi, come il mwarotensore di Riemann. Nel caso in cui lo spazio sia una curva o una superficie, questi oggetti matematici risultano più semplici: si parla ad esempio di mwarscurvatura gaussiana per le superfici.

Su una varietà dotata di curvatura, detta mwar0varietà riemanniana, sono definite una mwar4distanza fra punti, e le mwar8geodetiche: queste sono curve che modellizzano i percorsi localmente più brevi, come le rette nel piano, o i mwasameridiani sulla superficie terrestre.

Con la geometria differenziale è possibile costruire un "piano" in cui valgono tutti i mwas4postulati di Euclide, tranne il mwas8quinto, quello mwatadelle parallele. Questo postulato ha avuto un'importanza storica fondamentale, perché ci sono voluti 2000 anni per dimostrare la sua effettiva indipendenza dai precedenti. Asserisce che, fissati una retta mwate r {\displaystyle r} ed un punto mwati P {\displaystyle P} non contenuto in mwatm r {\displaystyle r} , esiste un'unica retta mwatq s {\displaystyle s} parallela a mwatu r {\displaystyle r} e passante per mwaty P {\displaystyle P} .

Una mwatggeometria non euclidea è una geometria in cui valgono tutti gli assiomi di Euclide, tranne quello delle parallele. La mwatksfera, con le geodetiche che giocano il ruolo delle rette, fornisce un esempio semplice di geometria non euclidea: due geodetiche si intersecano mwatosempre in due mwatspunti antipodali, e quindi non ci sono rette parallele. Un tale esempio di geometria è detta mwatwellittica. Esistono anche esempi opposti, in cui ci sono "così tante" rette parallele, che le rette mwat0 s {\displaystyle s} parallele a mwat4 r {\displaystyle r} e passanti per mwat8 P {\displaystyle P} sono infinite (e non una). Questo tipo di geometria è detta mwauaiperbolica, ed è più difficile da descrivere concretamente.

La mwauwtopologia è infine lo studio delle forme, e di tutte quelle proprietà degli enti geometrici che non cambiano quando questi vengono deformati in modo continuo, senza strappi. La topologia studia tutti gli oggetti geometrici (definiti in modo algebrico, differenziale, o quant'altro) guardando solo la loro forma. Distingue ad esempio la mwau0sfera dal mwau4toro, perché quest'ultimo ha "un buco in mezzo". Studia le proprietà di mwau8connessione (spazi "fatti di un pezzo solo") e di mwavacompattezza (spazi "limitati"), e le mwavefunzioni continue fra questi.

Le forme degli oggetti vengono codificate tramite oggetti algebrici, come il mwavmgruppo fondamentale: un mwavqgruppo che codifica in modo raffinato la presenza di "buchi" in uno mwavuspazio topologico.

Nel 1872 mwav8Felix Klein elaborò un programma di ricerca, lmwawa'mwawemwawiErlanger Programm, in grado di produrre una grande sintesi delle conoscenze geometriche e integrarle con altri settori della matematica, quali la mwawmteoria dei gruppi.

Nella prospettiva di Klein una mwawugeometria consiste nello studio di proprietà di uno spazio che sono invarianti rispetto ad un mwawygruppo di trasformazioni (mwawcgeometria delle trasformazioni):

• La mwawogeometria euclidea si occupa di proprietà che sono invarianti rispetto a mwawsisometrie, cioè trasformazioni che preservano lunghezze e angoli.

• La mwaw0geometria affine si occupa di proprietà che sono invarianti per mwaw4trasformazioni affini. In ambito di geometria affine non ha più senso il concetto di "angolo" o di "lunghezza" e tutti i triangoli sono "equivalenti".

• La mwaxageometria proiettiva studia le proprietà che sono invarianti per mwaxetrasformazioni proiettive, cioè trasformazioni che possono essere ottenute mediante proiezioni. In ambito proiettivo tutte le mwaxiconiche sono equivalenti potendo essere trasformata l'una nell'altra da una proiezione.

• La mwaxqtopologia studia proprietà che sono invarianti per mwaxudeformazioni continue. Dal punto di vista topologico una tazza ed una ciambella diventano equivalenti potendo essere deformate l'una nell'altra ma rimangono distinte da una sfera che non può essere "bucata" senza una trasformazione discontinua.

La mwaxggeometria analitica e l'mwaxkalgebra lineare forniscono importanti collegamenti tra l'intuizione geometrica e il calcolo algebrico che sono diventati ormai una parte costitutiva di tutta la matematica moderna e delle sue applicazioni in tutte le scienze. La mwaxogeometria differenziale ha trovato importanti applicazioni nella costruzione di mwaxsmodelli per la mwaxwfisica e per la mwax0cosmologia. La geometria piana e dello spazio fornisce inoltre degli strumenti per modellizzare, progettare e costruire oggetti reali nello spazio tridimensionale: è quindi di fondamentale importanza in mwax4architettura e in mwax8ingegneria come anche nel mwayadisegno e nella mwayecomputer grafica.

La mwayogeometria descrittiva è una disciplina che permette, attraverso determinate costruzioni grafiche, di mwaysrappresentare oggetti tridimensionali già esistenti (mwaywrilievo) e/o da costruire (mway0progettazione). L'applicazione informatizzata della geometria descrittiva permette oggi la creazione di mway4superfici e solidi, anche ad alta complessità mway8tridimensionale. Inoltre, e soprattutto, ne permette il controllo in modo inequivocabile di ogni loro mwazaforma e mwazedimensione. I maggiori campi d'impiego della geometria descrittiva sono quelli dell'mwaziarchitettura, dell'mwazmingegneria e quelli del mwazqdesign industriale.

• Boris A. Dubrovin, Sergej P. Novikov, Anatolij T. Fomenko, mwazgGeometria contemporanea - metodi e applicazioni, suddivisa in:

• volume 1, mwazsGeometria delle superfici dei gruppi di trasformazioni e dei campi, Editori Riuniti, 2011. ISBN 978-88-6473-232-9

• volume 2, mwaz4Geometria e topologia delle varietà, Editori Riuniti, 2011. ISBN 978-88-6473-233-6

• volume 3, mwaaeMetodi della teoria delle omologie, Editori Riuniti, 2011. ISBN 978-88-6473-234-3

• Nikolai I. Lobachevsky, mwaaqPangeometry, traduction et édition: A. Papadopoulos, Heritage of European Mathematics Series, Vol. 4, European Mathematical Society, 2010.

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• mwabcGuido Castelnuovo, mwabgLezioni di geometria analitica e proiettiva, Roma, Milano, 1905

• mwaboGuido Castelnuovo, mwabsElementi di geometria analitica e proiettiva Roma, 1909

• mwab0Emma Castelnuovo, mwab4La Geometria - La via della matematica, La nuova Italia, Firenze 1949 (ristampe fino al 1970)

• Giorgio Aprile, Mario Sciutto, mwacaLa geometria, edizioni SEI, Torino 1963

• mwacqAlgebra

• mwacyGeometria analitica

• mwacgGeometria descrittiva

• mwacoGeometria non euclidea

• mwacwGeometria senza punti

• mwac4Grammatica geometrica

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• citereftreccani-itgeometria, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.

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• mwadkGeometria online Calcola automaticamente aree, perimetri, ecc. di figure piane e solide.